二次函数典型例题——常见应用题
1、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA与水平方向PC的夹角为30o，AC⊥PC于点C，P、A两点相距米．请你建立适当的平面直角坐标系解决下列问题.
（1）求水平距离PC的长；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A．
2、某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个.
（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y（个）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；
（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；
（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：（1），即；
（2），即；
（3）∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大.
由题意可知，
∴当时，最大为.
因此，当每个书包的销售价为70元时，该超市可以获得每周销售的最大利润元.
我市某文具厂生产一种签字笔．已知这种笔的生产成本为每支6元．经市场调研发现：批发该种签字笔每天的销售量y(支)与售价x(元/支)之间存在着如下表所示的一次函数关系：
售价x(元/支)
…
7
8
…
销售量y(支)
…
…
（利润＝(售价－成本)×销售量）
（1）求销售量y(支)与售价x(元/支)之间的函数关系式；
（2）求销售利润W(元)与售价x(元/支)之间的函数关系式；
（3）试问该厂应当以每支签字笔多少元出售时，才能使每天所获得的利润最大？最大利润是多少元？
李经理在某地以10元/千克的批发价收购了千克核桃，并借一仓库储存．在存放过程中，平均每天有6千克的核桃损耗掉，而且仓库允许存放时间最多为60天．若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨0.5元。
（1）存放x天后，将这批核桃一次性出售，如果这批核桃的销售总金额为y元，试求出y与x之间的函数关系式；
（2）如果仓库存放这批核桃每天需要支出各种费用合计元，李经理要想获得利润元，需将这批核桃存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）
解：（1）由题意得与之间的函数关系式为
＝
=（≤≤60，且为整数）．
（2）由题意得：-10×-=
解方程得：=50，=（不合题意，舍去）．
答：李经理想获得利润元需将这批核桃存放50天后出售.
如图，用长为20米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于°，设扇形花坛的半径为米，面积为平方米．（注：的近似值取3）
（1）求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当半径为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．
解：（1）设扇形的弧长为l米.
由题意可知，.
∴.
∴
其中
（2）∵.
∴当时，
某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，得到如下数据：
售价（元∕件）
……
30
40
50
60
……
日销售量（件）
……
……
（1）若日销售量（件）是售价（元∕件）的一次函数，求这个一次函数的解析式；
（2）设这个工厂试销该产品每天获得的利润为W（元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）设y=kx+b(k≠0)．∴
解得
∴y=
(2)
．
∴当售价定为50元时，工艺厂每天获得的利润W最大，最大利润是元．
小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量y(千克)与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：y=-10x+．
下面是他们的一次对话：
小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少？我就能帮你预测好多信息呢！”
爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克20元”
聪明的你，也来解答一下小明想要解决的三个问题：
（1）若每月获得利润w(元）是销售单价x（元）的函数，求这个函数的解析式．
（2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）如果想要每月从这种水果的销售中获利元，那么销售单价应该定为多少元？
（1）
（2）
（3）当w=时，=
∴解得
答：每月销售单价应定为30元或40元.
如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．
求（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯、之间的水平距离.
解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）
设抛物线的解析式是y=a(x－5)2＋5
把（0，1）代入y=a(x－5)2＋5得a=－
∴y=－(x－5)2＋5（0≤x≤10）=
（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4
∴4=－(x－5)2＋5
∴(x－5)2=1，解得x1=，x2=
∴两景观灯间的距离为5米．
20．某超市按每袋20元的价格购进某种干果．销售过程中发现，每月销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：
（）．
（1）当x=45元时，y=袋；当y=袋时，x=元；
（2）设这种干果每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少?
（1）当x=45元时，y=50袋；当y=袋时，x=30元；
（2）由题意，得：w=(x－20)y
=(x－20)()
时，
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是元．
21、如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米？
21、解：如图，以MN为x轴，其中点为坐标原点建立直角坐标系，
由此可得点M、N、P的坐标为M（-2，0），N（2，0），P（0，4）；……………1分
设抛物线解析式为y=ax2+4，代入点N（2，0），
得4a+4=0，解得a=-1，
故抛物线解析式为y=-x2+4，……………2分
设A点的坐标为（x，y），则AB=CD=y，AD=BC=2x，
因此矩形铁皮的周长l=-2x2+4x+8（0＜x＜2），……………3分
若l=8，即-2x2+4x+8=8，
解得x1=0，x2=2；……………4分
矛盾，故l不可能是8．
∴这样截下的矩形铁皮的周长不能等于8分米．……………5分
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