年浙江省舟山市中考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（3分）年3月9日，中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为．数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：，
故选：．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
2．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为
A． B． C． D．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解：从正面看易得第一列有2个正方形，第二列底层有1个正方形．
故选：．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3分）已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是
A．平均数是4 B．众数是3 C．中位数是5 D．方差是3.2
根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可．
解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，方差是．
故选：．
本题考查方差、众数、中位数、平均数．关键是掌握各种数的定义，熟练记住方差公式是解题的关键．
4．（3分）一次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
根据一次函数的性质，判断出和的符号即可解答．
解：由题意知，，时，函数图象经过一、三、四象限．
故选：．
本题考查了一次函数图象所过象限与，的关系，当，时，函数图象经过一、三、四象限．
5．（3分）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标
A． B．， C． D．
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把点的横纵坐标都乘以即可．
解：以点为位似中心，位似比为，
而，
点的对应点的坐标为，．
故选：．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
6．（3分）不等式的解在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．
解：去括号，得：，
移项，得：，
合并，得：，
故选：．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
7．（3分）如图，正三角形的边长为3，将绕它的外心逆时针旋转得到△，则它们重叠部分的面积是
A． B． C． D．
根据重合部分是正六边形，连接和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．
解：作于，如图：
重合部分是正六边形，连接和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．
是等边三角形，，
，，，
，
的面积，
重叠部分的面积的面积；
故选：．
本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接和正六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键．
8．（3分）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是
A．①② B．②① C．①② D．①②
方程组利用加减消元法变形即可．
解：、①②可以消元，不符合题意；
、②①可以消元，不符合题意；
、①②可以消元，不符合题意；
、①②无法消元，符合题意．
故选：．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．
9．（3分）如图，在等腰中，，，按下列步骤作图：
①以点为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于点，作射线；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于点，，作直线，交射线于点；
③以点为圆心，线段长为半径作圆．
则的半径为
A． B．10 C．4 D．5
如图，设交于．解直角三角形求出，再在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：如图，设交于．
，平分，
，，
，
在中，则有，
解得，
故选：．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3分）已知二次函数，当时，则下列说法正确的是
A．当时，有最小值 B．当时，有最大值
C．当时，无最小值 D．当时，有最大值
①当时，当，同号时，先判断出四边形是矩形，得出，，进而得出，即，再判断出，即可得出的范围，当，异号时，，当，时，最小，即可得出的范围；
②当时，当，同号时，同①的方法得出，，进而得出，而，再判断出，当，异号时，，则，即可求出，，即可得出结论．
解：①当时，当，同号时，如图1，
过点作于，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
点，在抛物线上，且，同号，
，
，
，
当，异号时，，
当，或时，，此时，，
，
即，
即无最大值，有最小值，最小值为，故选项，都错误；
②当时，如图2，
当，同号时，过点作于，
同①的方法得，，，
，
在中，，
点，在抛物线上，
，
当时，，
点，，
，
此时，，
，
，
，
当，异号时，，
，
，，
即，
无最小值，有最大值，最大值为2，故选项错误；
故选：．
此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出的范围是解本题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：
．
本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
解：．
故答案为：．
主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
12．（4分）如图，的对角线，相交于点，请添加一个条件： （答案不唯一） ，使是菱形．
根据菱形的定义得出答案即可．
解：邻边相等的平行四边形是菱形，
平行四边形的对角线、相交于点，试添加一个条件：可以为：；
故答案为：（答案不唯一）．
此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．
13．（4分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是
．
直接利用概率公式求解．
解：蚂蚁获得食物的概率．
故答案为．
本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14．（4分）如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为
；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为
．
由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半径即可．
解：连接，
由得为的直径，
，
在中，由勾股定理可得：，
；
扇形的弧长为：，
设底面半径为，则，
解得：，
故答案为：，．
本题考查了圆周角定理、扇形的面积计算方法、弧长公式等知识．关键是熟悉圆锥的展开图和底面圆与圆锥的关系．利用所学的勾股定理、弧长公式及扇形面积公式求值．
15．（4分）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程
．
根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．
解：根据题意得，，
故答案为：．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键．
16．（4分）如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．当点恰好落在边上时，线段的长为
；在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为
．
第一个问题证明，求出即可解决问题．第二个问题，探究点的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
解：如图1中，
四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知：，，
，
，
，
．
如图2中，当点与重合时，，设，
在中，则有，解得，
，
如图3中，当点运动到时，的值最大，，
如图4中，当点运动到点落在时，（即，
点的运动轨迹，运动路径．
故答案为，．
本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（1）计算：；
（2）化简：．
（1）直接利用零指数幂的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式计算得出答案．
解：（1）
；
（2）
．
此题主要考查了实数运算以及平方差公式以及单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（6分）比较与的大小．
（1）尝试（用“”，“”或“”填空）
①当时，
；
②当时，
；
③当时，
．
（2）归纳：若取任意实数，与有怎样的大小关系？试说明理由．
（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
解：（1）①当时，；
②当时，；
③当时，．
（2）．
证明：，
．
故答案为：；；．
本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．
19．（6分）已知：如图，在中，，与相切于点．求证：．小明同学的证明过程如下框：
证明：连结，
，
，
又，
，
．
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请写出你的证明过程．
连结，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
解：证法错误；
证明：连结，
与相切于点，
，
，
．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
20．（8分）经过实验获得两个变量，的一组对应值如下表．
1
2
3
4
5
6
6
2.9
2
1.5
1.2
1
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．
（2）点，，，在此函数图象上．若，则，有怎样的大小关系？请说明理由．
（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式．
（2）根据反比例函数的性质解答即可．
解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为，
把，代入，得，
函数表达式为；
（2），
在第一象限，随的增大而减小，
时，则．
本题考查描点法画函数图象、反比例函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键掌握描点法作图，学会利用图象得出函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）小吴家准备购买一台电视机，小吴将收集到的某地区、、三种品牌电视机销售情况的有关数据统计如下：
根据上述三个统计图，请解答：
（1）年三种品牌电视机销售总量最多的是
品牌，月平均销售量最稳定的是
品牌．
（2）年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？
（3）货比三家后，你建议小吴家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由．
（1）从条形统计图、折线统计图可以得出答案；
（2）求出总销售量，“其它”的所占的百分比；
（3）从市场占有率、平均销售量等方面提出建议．
解：（1）由条形统计图可得，年三种品牌电视机销售总量最多的是品牌，是万台；
由条形统计图可得，年三种品牌电视机月平均销售量最稳定的是品牌，比较稳定，极差最小；
故答案为：，；
（2）（万台），，
（万台）；
答：年其他品牌的电视机年销售总量是.2万台；
（3）建议购买品牌，因为品牌年的市场占有率最高，且5年的月销售量最稳定；
建议购买品牌，因为品牌的销售总量最多，收到广大顾客的青睐．
考查条形统计图、折线统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图中各个数量及数量之间的关系是解决问题的关键．
22．（10分）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向．测量方案与数据如下表：
课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案示意图
说明
点，在点的正东方向
点，在点的正东方向
点在点的正东方向，点在点的正西方向．
测量数据
，
，
．
，
，
．
，
，
．
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？
（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到．（参考数据：，，，
（1）第二个小组的数据无法计算河宽．
（2）第一个小组：证明，解直角三角形求出即可．
第三个小组：设，则，，根据，构建方程求解即可．
解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽．
（2）第一个小组的解法：，，，
，
，
．
第三个小组的解法：设，
则，，
，
，
解得．
答：河宽为．
本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图，其中，，，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连结，（如图，当点与点重合时停止平移．
图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由．
当纸片平移到某一位置时，小兵发现四边形为矩形（如图．求的长．
活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度，连结，（如图．
当平分时，探究与的数量关系，并说明理由．
由全等三角形的性质得出，，则，可得出结论；
连接交于点，设，则，得出，由勾股定理可得，解方程求出，则可求出；
如图2，延长交于点，证明，得出，，则，可证得，得出，则结论得证．
解：四边形是平行四边形．
证明：如图，，
，，
，
四边形是平行四边形；
如图1，连接交于点，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
．
，
证明：如图2，延长交于点，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，，
，
，
．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）在篮球比赛中，东东投出的球在点处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当球运动到点时被东东抢到，轴于点，．
①求的长．
②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点．东东起跳后所持球离地面高度（传球前）与东东起跳后时间满足函数关系式；小戴在点处拦截，他比东东晚垂直起跳，其拦截高度与东东起跳后时间的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．
（1）设，将代入求解即可得出答案；
（2）①把代入，解方程求出，即可得出；
②东东在点跳起传球与小戴在点处拦截的示意图如图2，设，，当点，，三点共线时，过点作于点，交于点，过点作于点，证明，得出，则．分不同情况：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，（Ⅲ）当时，分别求出的范围可得出答案．
解：（1）设，
把，代入，解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）①把代入，
化简得，
解得（舍去），，
．
②东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点．
由图1可得，当时，．
当时，．
当时，，
东东在点跳起传球与小戴在点处拦截的示意图如图2，
设，，
当点，，三点共线时，过点作于点，交于点，过点作于点，
，，
，，
，
，
，，
．
（Ⅰ）当时，
，
．
，
整理得，
解得（舍去），，
当时，随的增大而增大，
．
（Ⅱ）当时，，
，
，
整理得，
解得，（舍去），，
当时，随的增大而减小，
．
（Ⅲ）当时，，不可能．
给上所述，东东在起跳后传球的时间范围为．
本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及能将实际问题转化为二次函数问题求解．
欢迎到洪老师讲数学