本节课最核心的目标是学生能有模型意识，即能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，并能想到利用勾股定理去解决问题。
1.最短路径问题如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm．在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
曲面上的最短路径问题学生需要仔细阅读后，明确数学信息（底面圆周长18cm，高12cm，点A、B所在位置），弄清楚数学问题——沿圆柱侧面，使得点A到点B的路程最短。
这里涉及到一个「流行的误解」，既该问题强调的是沿圆柱侧面爬行，即不可以从底面穿过。如果是沿圆柱表面爬行，则意味着蚂蚁可以从上、下底面穿过。相关问题可戳此阅读。
学生先前学过圆柱的侧面展开图，蚂蚁从侧面爬行，经过侧面展开后，既可以看成平面上两点之间距离如何最短的问题。如图：
立体图转化成平面图这体现了转化的思想——把一个曲面上的最短路径问题，转化成了平面上两点间距离最短问题。后者根据「两点之间线段最短」容易得解。如图：
建立直角三角形如图构造直角三角形，AC边长为底面圆周长的一半为9cm；BC边长为12cm。利用勾股定理，
，则AB=15cm。
学有余力的学生可以思考，当蚂蚁从圆柱表面爬行时，从A到B最短路径又是多长呢？此时涉及到圆柱的不同展开方式，以及圆柱本身的外形特点。
2.判定（或构造）直角如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．该如何完成这个任务呢？
（1）若李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，边BD长是50cm．边AD垂直于边AB吗？
（2）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
判断AD是否垂直AB这是运用勾股定理的逆定理判定是否垂直的问题。
勾股定理的逆定理把三角形的「边」的数量关系——三边之间满足等式
，转化成三角形「形」的特征——有一个角是直角，即三角形为直角三角形。具体内容详见勾股定理的逆定理。
当AD=30cm，AB=40cm，BD=50cm时，满足
,所以△ABD是直角三角形，AD⊥AB。
当刻度尺较短时，可以在AB、AD边上各量3、4cm，再去量一量以它们为边的三角形的第三边是不是5，从而得到结论。
利用勾股定理的逆定理，也可以去构造直角。只要确保三边符合勾股数，则三边组成的三角形一定是直角三角形，从而画出直角。
3.用方程和勾股定理求边长如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长。
AC作为Rt△AEC的斜边，求其边长，可联想到利用勾股定理。
设滑道AC的长度为
m，则AB的长度为
m，AE的长度为
m,
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得
,
即
,解得
.
即滑道AC的长度为5m
此类问题的特征是已知一边长度，设待求边长为
，另一边长能被
表示，再利用勾股定理建立等量关系，整式乘法公式化简后，求出
即可。
本节精选例题如图，阴影长方形的面积是多少？第1题选题意图：基础题，巩固勾股定理的技能；
一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？第2题选题意图：空间最短路径问题的变式。蚂蚁爬行轨迹是沿盒的表面，学生需要讨论长方体盒子的展开方式。本题可以将长方体的长、宽、高改成6、8、12，作进一步的拓展。
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险．某日早晨8:00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走．1h后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走．上午10:00，甲、乙二人相距多远？如图，一座城墙高11.7m，墙外有一个宽为9m的护城河，那么一个长为15m的云梯能否到达墙的顶端？第4题选题意图：勾股定理的应用题，学生需要将数学与生活实际联系，发展建模能力。
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？第5题借助勾股定理，利用升旗的绳子、卷尺，请你设计一个方案，测算出旗杆的高度.选题意图：第5题为古代中国的「引葭赴岸」问题，饶有趣味，能发展学生的建模能力和方程思想；第6题是第5题的延伸，发展学生的创造性思维。
五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？第7题选题意图：巩固勾股定理的逆定理；并结合下图，探索勾股数中有5的倍数的规律。
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