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1．方向导数的定义
设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，其中向量u对应的单位向量为uo=(cosα,cosβ)，其中α,β为向量u的方向角，则当极限
存在时，则称该极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处沿方向u的方向导数，记作
从实际应用与通用性角度，我们定义方向导数ρ→0+。有些教材对方向导数的定义ρ的取值可正可负，虽然可以视偏导数为其特殊情况，但是其条件对于实际应用来说太强！当然如果一个函数沿着指定方向及其反方向方向导数存在且互为相反数，则定义与ρ→0+一样可得到有效结论。
2．方向导数的几何意义
设z=f(x,y)表示空间曲面S，则方向导数Duf(x0,y0)表示过点P(x0,y0,0),M(x0,y0,f(x0,y0))，且平行于xOy面上的向量u和垂直于xOy的平面π与曲面S的交线在点M(x0,y0,f(x0,y0))处的切线的斜率．
特别地，f’x(x0,y0)与f’y(x0,y0)分别为函数f(x,y)在点P(x0,y0)处沿两坐标轴方向i=(1,0)及j=(0,1)的方向导数．
3．方向导数的计算
定理设函数f(x,y)在点P(x0,y0)可微，那么函数在该点沿任意方向向量u的方向导数都存在，且有
其中cosα,cosβ为向量u的方向余弦．
4．多元函数的方向导数
方向导数的概念及计算公式可推广到三元及三元以上的函数．例如，三元函数f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)沿方向u（对应的单位向量为uo=(cosα,cosβ,cosγ)）的方向导数定义为
同样，当函数f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)可微时，函数在该点沿方向u的方向导数
一般地，当函数f(x,y,z)可微时，有
5．多元函数的梯度
二元函数f(x,y)与三元函数f(x,y,z)的梯度（梯度向量），记作
分别定义为：
6．多元函数方向导数与梯度的关系
方向导数是函数梯度在方向向量u上的投影：
7．方向导数与梯度的应用
定理设f(X)在点X0可微,u是一个n维非零向量，如果Duf(X0)0，则u是f(X)在点X0处的一个上升方向；如果Duf(X0)0，则u是f(X)在点X0处的一个下降方向．
(1)梯度方向是函数值上升最快的方向，而函数值下降最快的方向是负梯度方向．通常，把梯度方向与负梯度方向分别叫做函数的最速上升方向与最速下降方向．
(2)函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．
(3)与函数f(X)在点X0处的梯度方向成锐角（钝角）的任何方向都是f(X)在点X0处的上升（下降）方向．
(4)二元函数、三元函数的梯度向量分别是相应的等值线、等值面的法线的方向向量。如图：
相关例题与典型题参见课件列表！
参考课件节选