第一章勾股定理专项练习题
一、选择题(每题3分，共30分)
1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的(
)
A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍
2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是(
)
A．30，40，50
B．7，12，13
C．5，9，12
D．3，4，6
3．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是(
)
A．B．C．13D．
4．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是(
)
A．3cm2B．4cm2C．5cm2
D．6cm2
第4题
第7题
第10题
(第4题)(第7题)(第10题)
5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为(
)
A．∠A＝∠B－∠CB．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2
C．b2＝a2－c2D．a∶b∶c＝2∶3∶4
6．已知一轮船以18nmile/h的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24nmile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5h后，两轮船相距(
)
A．30nmileB．35nmileC．40nmileD．45nmile
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于(
)
A.10/13B.15/13C.60/13D.75/13
8．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是(
)
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形
9．已知直角三角形的斜边长为5cm，周长为12cm，则这个三角形的面积是(
)
A．12平方厘米B．6平方厘米C．8平方厘米D．10平方厘米
10．如图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是(
)
A．S1＋S2＞S3B．S1＋S2＝S3
C．S1＋S2＜S3D．无法确定
二、填空题(每题3分，共24分)
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高，若AB＝5cm，BC＝6cm，则AD＝__________．
第11题
第12题
第13题
12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点Bm，结果他在水中实际游了m，则该河流的宽度为________．
13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________．
14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋eq\b\lc\
\rc\
(\a\vs4\al\co1(c－b))＝0，则△ABC的形状为_________________________________________．
15．如图是一个长方体，则AB＝________，阴影部分的面积为________．
第15题
第16题
16．如图是"赵爽弦图"，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，且AH∶AE＝3∶4.那么AH等于________．
17．红方侦察员小马的正前方m处有一条东西走向的公路，突然发现一辆蓝方汽车在公路上行驶，他拿出红外线测距仪测得汽车与他相距m，10s后又测得汽车与他相距m，则蓝方汽车的速度是________m/s.
18．在一根长90cm的灯管上缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看成圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈(如图为灯管的部分示意图)，则彩色丝带的总长度为__________．
第18题
三、解答题(19～22题每题9分，其余每题10分，共66分)
19．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12m，如图，即AD＝BC＝12m，此时建筑物中距地面12.8m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB是3.8m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？
第19题
20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.
第20题
21．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点E在CD上，DE＝b，AE＝c，延长CB至点F，使BF＝b，连接AF，试利用此图说明勾股定理．
第21题
22．如图，一根12m的电线杆AB用铁丝AC，AD固定，现已知用去的铁丝AC＝15m，AD＝13m，又测得地面上B，C两点之间的距离是9m，B，D两点之间的距离是5m，则电线杆和地面是否垂直，为什么？
第22题
23．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在
点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
第23题
24．如图，在长方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设落点为F，若△ABF的面积为30cm2，求△ADE的面积．
第24题
25．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD＝8cm，高AB＝6cm，水深为AE＝4cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝6cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．
(1)小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．
(2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度)．
第25题
参考答案
一、1.B 2.A 3.A 4.C 5.D 6.D
7．C 8.D 9.B 10.B
二、11.4cm 12.m 13.7cm
14．等腰直角三角形
15．13；30
16.6
17.30
18．cm 点拨：因为灯管可近似看成圆柱，而圆柱的侧面展开图是一个长方形，所以假设把灯管的侧面展开后，得到一个由30个完全相同的小长方形组成的大长方形，且每个小长方形的长等于灯管的底面周长，小长方形的高等于灯管长度的eq\f(1,30)，则丝带的长度等于小长方形对角线长的30倍．
三、19.解：因为CD＝AB＝3.8m，
所以PD＝PC－CD＝9m.
在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋PD2，
得AP＝
15m.
所以此消防车的云梯至少应伸长15m.
20．解：如图，连接BE.
第20题答案图
因为AE2＝12＋32＝10，AB2＝12＋32＝10，
BE2＝22＋42＝20，所以AE2＋AB2＝BE2.
所以△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥AE.
21．解：在△ADE和△ABF中，
eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AB＝a，,∠D＝∠ABF，,DE＝BF＝b，))
所以△ADE≌△ABF.
所以AE＝AF＝c，∠DAE＝∠BAF，
S△ADE＝S△ABF.
所以∠EAF＝∠EAB
＋∠BAF＝∠EAB＋∠DAE＝∠DAB＝90°，
S正方形ABCD＝S四边形AECF.
连接EF，易知S四边形AECF＝S△AEF＋S△ECF＝eq\f(1,2)[c2＋(a－b)(a＋b)]＝eq\f(1,2)(a2＋c2－b2)，S正方形ABCD＝a2，
所以eq\f(1,2)(a2＋c2－b2)＝a2.
所以a2＋b2＝c2.
22．解：垂直．理由如下：
因为AB＝12m，AC＝15m，BC＝9m，
所以AC2＝BC2＋AB2.
所以∠CBA＝90°.
又因为AD＝13m，
AB＝12m，BD＝5m，
所以AD2＝BD2＋AB2.
所以∠ABD＝90°，
因此电线杆和地面垂直．
点拨：要判定电线杆和地面
垂直，只需说明AB⊥BD且AB⊥BC即可，利用勾股定理的逆定理即可判定△ABD和△ABC为直角三角形，从而得出电线杆和地面垂直．
23．解：根据题意，BC＝AC＝OA－OC＝9－OC.
因为∠AOB＝90°，
所以在Rt△BOC中，根据勾股定理，得OB2＋OC2＝BC2，
所以32＋OC2＝(9－OC)2，
解得OC＝4cm.
所以BC＝5cm.
24．解：由折叠可知AD＝AF，DE＝EF.
由S△ABF＝eq\f(1,2)BF·AB＝30cm2，
AB＝DC＝5cm，得BF＝12cm.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF＝13cm，所以BC＝AD＝AF＝13cm.
设DE＝xcm，则EC＝(5－x)cm，
EF＝xcm，FC＝13－12＝1(cm)．
在Rt△ECF中，由勾股定理，得EC2＋FC2＝EF2，即(5－x)2＋12＝x2，解得x＝eq\f(13,5).
所以S△ADE＝eq\f(1,2)AD·DE＝eq\f(1,2)×13×eq\f(13,5)＝16.9(cm2)．
25．解：(1)如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G与BC交于点Q，则AQ＋QG为最短路线．
第25题答案图
(2)因为AE＝4cm，AA′＝12cm，
所以A′E＝8cm.
在Rt△A′EG中，EG＝6cm，A′E＝8cm，A′G2＝A′E2＋EG2＝，
所以A′G＝10cm，
所以A
Q＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝10cm.
所以最短路线长为10cm.