６.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，
即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数;
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如3,4,5；6,8,10；5,12,13等;
③用含字母的代数式表示n组勾股数：
7.勾股定理及其逆定理的应用
二、常见题型归纳总结
题型一：直接考查勾股定理
在△ABC中，∠C=90°．
⑴已知AC=6，BC=8．求AB的长;
⑵已知AB=17，AC=15，求BC的长.
分析：画出图形直接应用勾股定理即可解题.
题型二：应用勾股定理建立方程
⑴在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，则CD＝；
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3：4，斜边长为15cm，则这个三角形的面积为；
⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为.
分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．
有时可根据勾股定理列方程求解.
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠1=∠2，CD=1.5,BD=2.5,求AC的长.
分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来.
解析：设AC=x,易知CD=DE=1.5,AC=AE=x,
在Rt△DEB中，根据勾股定理可得：DE2+BE2=BD2,
即1.5×1.5+BE2=2.5×2.5，
解得BE=2.
在Rt△ACB中，根据勾股定理可得：AC2+BC2=AB2,
即x2+4×4=（x+2）2,
解得x=3,
∴AC=3.
题型三：勾股定理在实际问题中的应用
如图有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m.
分析：根据题意建立数学模型，如图所示AB=8m，CD=2m，BC=8m，
过点D作DE⊥AB，垂足为E，则AE=6m，DE=8m.
在Rt△AED中，应用勾股定理，可得AD=10m，即小鸟至少飞了10m.
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
已知三角形的三边长分别为a，b，c，试判定△ABC是否为直角三角形.
①a=1.5，b=2，c=2.5;
②a=5/4，b=1，c=2/3.
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
已知在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm，
求证：AB=AC.
证明：
∵AD是BC边上的中线，BC=10cm,
∴BD=DC=5cm,
在△ADB中，AB=13cm,AD=12cm,BD=5cm,
∵5×5+12×12=13×13，
∴BD2+AD2=AB2,
∴△ADB是直角三角形，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ADB≌△ADC，（SAS）
∴AB=AC.
三、巩固训练
1、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？
2、如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，
且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，
请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
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