------------------这是第29期------------------
论文题目：AGeneralMethodforN-OrderIntegral-FormGauss’sVariationalEquationsUnderImpulsiveControl
发表期刊：AerospaceScienceandTechnology
卷期信息：Vol.,,075
论文作者：*朝辉1、周昊1、潘正旭1、唐生勇2
作者单位：1西北工业大学、2上海宇航系统工程研究所
编者按：高斯变分方程（Gauss’sVariationalEquations，简称GVEs）也称高斯行星运动方程，是德国著名数学家高斯于年在计算智神星（PallasAthena）轨道时所建立的一组天体动力学微分方程。该方程在天体运动预测、航天器轨道设计等领域具有广泛的应用，是天体动力学、航天动力学领域的奠基性理论之一。但该方程长期只有一阶形式的等价积分结果，后者有限的精度在一定程度上限制了其进一步的推广。年，哈尔滨工业大学张刚教授与美国学者Mortari教授合作首次建立了二阶积分型GVEs解析解，打破了这一领域长期以来的空白；但其采用的方法较为复杂，不易推广至高阶情形。年7月，AerospaceScienceandTechnology国际期刊在线发表了西北工业大学*朝辉副教授等人的论文，报道其采用一种全新解法，创造性地建立了任意N阶积分型GVEs解析解，将该问题得到了完整解决。本文将简要介绍这一成果的主要思想，并结合作者研究的心路历程讲述研究背后的苦与乐。这是一篇致敬数学家高斯的论文，由一个扎根中国大地的普通青年学者所做；文章精简有趣，故事引人入胜。
一篇致敬数学家高斯的论文——
任意N阶积分型高斯行星运动方程解析解
高斯变分方程（Gauss’sVariationalEquations，简称GVEs）是一组描述引力场下运动物体（自然天体或人造卫星）的轨道参数随受力（自然摄动力或控制力）变化的动力学方程。该组方程共包含6个微分方程，分别描述了轨道半长轴a、偏心率e、轨道倾角i、升交点赤经Ω、纬度幅角ω、初始真近点角f（或等价地，平近点角M）等6个轨道根数随受力的演化规律。该方程由德国数学家高斯于年前后建立，是其在计算智神星（注：PallasAthena，人类历史上发现的第二个小行星）轨道时所发明的。高斯在天体动力学领域众所周知的另外一个发明是最小二乘法（MethodofLeastSquare），该方法是其在计算谷神星（注：Ceres，人类历史上发现的第一个小行星）轨道时所建立的。
注：高斯于年计算了Ceres的轨道，发现了最小二乘法；
进一步于年计算了Pallas的轨道，发现了高斯行星运动方程！
高斯所建立的GVEs是一组微分方程，通常用于轨道积分演化或连续力轨道控制模型。该方程经过简单近似处理，可得到一组显式描述的轨道根数与速度增量（也称脉冲控制）之间的一阶线性方程——被称作积分型高斯变分方程（Integral-formGVEs）。积分型GVEs可以直接量化给定脉冲控制下轨道根数的变化，可用于轨道设计、轨道演化分析等任务，在航天领域具有广泛的应用。但直接近似处理得到的这组积分型GVEs只具有一阶精度，其只能有效描述瞬时或短时较小脉冲控制的情况。当脉冲控制量级较大或者作用时间较长时，一阶积分型GVEs将会失效，若直接使用它将会带来很大的误差。
年，哈尔滨工业大学的张刚教授与美国学者Mortari教授提出了一种全新的方法，能够获得二阶积分型GVEs的解析解。该方法及相关结果是该领域的首次突破。张刚教授注意到，轨道根数本质上是引力场下运动物体的动力学积分。这些积分与运动体初始状态（位置、速度）之间具有一一对应的等价关系，一般表现为某种函数形式，即S(α)=J(r,v)。其中，α是某个轨道根数，r,v为运动体在惯性系下的位置和速度矢量。对上述表达式两端分别进行变分处理，则可得到轨道根数的变化量Δα与控制量（表现为Δv）之间的等式关系。通过求解该等式方程，即可得到轨道根数变化量在任意控制量下的具体结果。利用该方法，张刚教授推导得到了二阶积分型GVEs的解析解，并将其用于航天器轨道转移控制设计等实际工程应用问题，取得了良好的效果；相比传统基于一阶积分型GVEs的方法表现出燃料消耗的显著节省和控制精度的显著提高。
但张刚教授和Mortari教授所联合建立的该方法，涉及到非线性等式方程的求解。由于轨道根数与位置、速度之间的对应关系具有多层迭代的特征，其理论上的解析表达式在实际使用上表现出隐函数的特点，因而不便于计算轨道根数变化量与控制量之间的高阶关系。实际推导过程也表明，上述方法较难推广至三阶及更高阶积分型GVEs解析解。
年5月25日，张刚教授在第五届全国航天动力学与控制青年学者论坛上报道了他的这一全新发现和相关理论，引起了与会学者的广泛