导数的本质是函数的变化率。变化率在不同学科中的具体含义不尽相同。
在变速直线运动中，位移对时间
的变化率是时间
处的瞬时速度；质量分布不均匀的细棒，质量
对棒上各点坐标
的变化率是细棒在
处的线密度；直流电路中导线通过的电量
对时间
的变化率是电量在
时刻的电流强度；生物学中，设
表示某生物种群在
时刻个体的数目，则在个体数量很大并且经常有出生和死亡的情况下，
对
的变化率表示种群的增长率；在经济学中，设
表示生产
个某种产品的总成本，则
对
的变化率表示成本增长率，经济学中称其为边际成本，它表示产量为
时再多生产一个单位产品所需要的成本。......1、导数的基本概念
导数最初定义是年柯西在《无穷小分析概论》中定义的：如果函数
在变量
的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么使变量得到一个无穷小增量。
现在导数定义是19世纪0年代魏尔斯特拉斯用
语言定义的：
设函数
在点
的某个邻域内有定义，当自变量
在
处有增量
，
也在该邻域内时，相应地函数增量
，如果任意给
，存在常数
和
，当
时，恒有
，则称函数
在点
处可导，并称
为函数
在点
处的导数，记为
导数的几何意义就是函数形成的曲线在一点的切线的斜率。
最早导数主要用于求变速运动的瞬时速度（计算弹头的穿透能力或动能必须知道弹头接触目标的瞬时速度）和求曲线上一点的切线。牛顿从第一个问题出发，莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。
牛顿的想法很直观，如一辆汽车在10小时内走了00公里，它的平均速度是0公里/小时。但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是0公里/小时。设汽车所在位置
与时间
的关系为：
，那么汽车在由时刻
变到
这段时间内的平均速度是：
，当
与
无限趋近于零时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，瞬时速度就近似等于平均速度。
自然就把当
时的极限作为汽车在时刻
的瞬时速度，这显然就是导数。
当函数
在
处可导时，其导数及定义可描述为如下形式：
根据变量描述符号的无关性，其中的极限变量可以用其他符号描述.
曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，导数(微分)可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。函数
在
点切线的斜率为
在
的值，那么法线的斜率为
。由此，根据直线的点斜式方程可得该点处的切线方程与法线方程。
2、导数的性质与计算根据上述定义，导数是通过极限对函数进行局部的线性逼近，所以导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。所以函数在一点可导不能保证它在这一点的某一邻域内连续，更不能保证它在这一点的某一邻域内可导。比如函数在
处可导，但是在该点的任何领域内，该函数不连续也不可导。
不是所有的函数都有导数（例如产生突变点，奇点的函数就没有导数），一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。很容易证明：
可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。同时也可以举反例说明，连续的函数也不一定可导。如
在
处连续，但不可导。
另外还存在处处连续但处处不可导的函数。比如魏尔斯特拉斯函数：
其中为实数,
为奇整数,
在
内处处连续但又处处不可导.
Weierstrass的反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为对于这类函数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又一次危机.但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生.
所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方式具有相似性.“形”的这种性质又称为“自相似性”.如云彩的边界；山峰的轮廓；奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等.这些变化无穷的曲线，虽然处处连续，但可能处处不可导.“分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的