八年级数学期末测试卷
分值：分
笔试时间：分钟班级：
姓名：分数：
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列不等式变形中，错误的是（
）
A．若a≤b，则a+c≤b+cB．若a+c≤b+c，则a≤b
C．若a≤b，则ac2≤bc2D．若ac2≤bc2，则a≤b
2．把分式中的a、b都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．缩小B．缩小C．扩大2倍D．不变
3．点P是△ABC内一点，且P到△ABC的三边距离相等，则P是△ABC哪三条线的交点（
）
A．边的垂直平分线B．角平分线
C．高线D．中位线
4．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（
）
A．﹣＜a≤﹣B．﹣≤a＜﹣C．﹣≤a≤﹣D．﹣＜a＜﹣
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=6，DH⊥AB于H，则AH等于（
）
A．B．C．D．
6．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（
）
A．3B．4C．4.5D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若一个多边形的内角和比外角和大°，则这个多边形的边数为．
8．某次知识竞赛试卷有20道题，评分办法是答对一道记5分，不答记0分，答错一道扣2分，小明有3道题没答，但成绩超过60分，则小明至少答对道题．
9．如图，△ACE是以?ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则DF的长为．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD＝BE＝2，点M，P，N分别是DE，BD，AB的中点，则△PMN的周长＝．
12．如图，在直角坐标系中，直线y=﹣分别与x轴、y轴交于点M、N，点A、B分别在y轴、x轴上，且∠B=60°，AB=2，将△ABO绕原点O顺时针转动一周，当AB与直线MN平行时点A的坐标为．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）解不等式组，
（2）先化简，再求值：.其中m=5.
14．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（点B，C的对应点分别是D，E），当点E在BC边上时，连接BD，若∠ABC＝30°，∠BDE＝10°，求∠EAC．
15．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
16．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
17．如图,E、F分别是矩形ABCD的边AB、AD上的点，∠FEC=∠FCE=45O
(1）求证：AF=CD；(2)若AD=2，△EFC的面积为,求线段BE的长。
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，已知四边形ABCD是正方形，点F在DC边上（不与端点重合)，点E在线段AF上，AD=m2+1,AE=2m，DE=m2-1(1)若m=2,求∠AED的度数
(2)M为线段BF的中点，点N在线段AF上（不与点F重合)，且MN=MC，根据题意，请在图6中画出示意图，并求AD-AN的值。
19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？
20．某校初中三年级名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位.
⑴求中巴车和大客车各有多少个座位？⑵客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用元，租用大客车每辆往返费用元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
22．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，D在BC上，P是射线AD上一动点．
（1）如图①，若∠ACB＝90°，AC＝8，CD＝6，当点P在线段AD上，且△PCD是等腰三角形时，求AP长．
（2）如图②，若∠ACB＝90°，∠APC＝45°，当点P在AD延长线上时，探究PA，PB，PC的数量关系，并说明理由．
（3）类比探究：如图③，若∠ACB＝°，∠APC＝30°，当点P在AD延长线上时，请直接写出表示PA，PB，PC的数量关系的等式．
六、（本大题共12分）
23．如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,点E在AB上，F是线段BD的中点，连结CE、FE.
（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
答案
1、根据不等式的基本性质进行答题．
解：A、在不等式a≤b的两边同时加c，不等式仍然成立，即a+c≤b+c．故本选项不符合题意；
B、在不等式a+c≤b+c的两边同时减去c，不等式仍然成立，即a≤b．故本选项不符合题意；
C、当c＝0时，不等式ac2≤bc2不成立，故本选项符合题意；
D、在不等式ac2≤bc2的两边同时除以c2，不等式仍然成立，即a≤b．故本选项不符合题意．
故选：C．
2、D
3、根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答．
解：∵P到△ABC的三边距离相等，
∴点P在△ABC的三条角平分线上，
∴P是△ABC三条角平分线的交点，
故选：B．
本题考查的是角平分线的性质，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
4、先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范围即可．
解：
由①得x＞8；
由②得x＜2﹣4a；
∵关于x的不等式组有四个整数解，
∴其解集为8＜x＜2﹣4a，
且四个整数解为9，10，11，12，
则，
解得﹣≤a＜﹣．
故选：B．
5、平行四边形的性质．菁优网版权所有
易证四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于AB×DH，再利用勾股定理求出AH即可．
解：∵平行四边形ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，
∴BC=5cm，
∴S菱形ABCD=AC?BD=×6×8=24cm2，
∵S菱形ABCD=AB×DH，
∴AB×DH=24，
∴DH=cm，
∴AH==
故选D．
此题考查了菱形的判定与性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
6、三角形中位线定理．菁优网版权所有
根据三角形中位线定理可知EF=DN，求出DN的最大值即可．
解：如图，连结DN，
∵DE=EM，FN=FM，
∴EF=DN，
当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，
在RTABD中，∵∠A=90°，AD=3，AB=3，
∴BD===6，
∴EF的最大值=BD=3．
故选A．
本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型．
7、多边形内角与外角．菁优网版权所有
应用题．
根据多边形的内角和公式（n﹣2）?°，外角和等于°列出方程求解即可．
解：设多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）?°﹣°=°，
解得n=6．
故答案为：6．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是°是解题的关键．
8、设小明答对了x道题，则答错了（20﹣3﹣x）道题，根据总分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数结合成绩超过60分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小正整数即可得出结论．
解：设小明答对了x道题，则答错了（20﹣3﹣x）道题，
依题意，得：5x﹣2（20﹣3﹣x）＞60，
解得：x＞13．
∵x为正整数，
∴x的最小值为14．
故答案为：14．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9、解：∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，﹣3），
∴C的坐标为（7，3），
∴CH=3，CE=6，
∵△ACE是以?ABCD的对角线AC为边的等边三角形，
∴AC=6，
∴AH=9，
∵OH=7，
∴AO=DH=2，
∴OD=5，
∴D点的坐标是（5，0），
故答案为（5，0）．
10、根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，AE＝AC，根据垂直平分线的性质得到AF＝DF，根据平行线的判定和性质可得△BDF、△BED是等腰直角三角形，在Rt△BED中，根据勾股定理可得DE的长，进一步得到DF的长．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠CAD＝∠EAD，DE＝CD，AE＝AC＝2，
∵AD的垂直平分线交AB于点F，
∴AF＝DF，
∴∠ADF＝∠EAD，
∴∠ADF＝∠CAD，
∴AC∥DE，
∴∠BDE＝∠C＝90°，
∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，
设DE＝x，则EF＝BE＝x，AF=BD＝DF＝x，
∴AB=（2+）x，
在等腰直角三角形△ABC中，AB=2，
∴（2+）x=2，
解得x＝2﹣2，
∴DF＝（2﹣2）＝4﹣2；
故答案为：4﹣2．
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
11、先由三角形中位线定理得出PM∥BC，PN∥AC，PM＝BE＝1，PN＝AD＝1，再根据平行线的性质得出∠MPD＝∠DBC，∠DPN＝∠CDB，可证∠MPN＝90°，利用勾股定理求出MN＝＝，进而得到△PMN的周长．
解：∵点M，P，N分别是DE，BD，AB的中点，AD＝BE＝2，
∴PM∥BC，PN∥AC，PM＝BE＝1，PN＝AD＝1，
∴∠MPD＝∠DBC，∠DPN＝∠CDB，
∴∠MPD+∠DPN＝∠DBC+∠CDB＝°﹣∠C＝90°，
即∠MPN＝90°，
∴MN＝＝，
∴△PMN的周长＝2+．
故答案为2+．
本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理．求出PM＝PN＝1，MN＝是解题的关键．
12、作图﹣旋转变换；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
计算题．
先确定∠NMO=60°，再计算出OA=，然后利用AB与直线MN平行画出图形，直线AB交x轴于点C，作AH⊥x轴于H，则∠OCB=60°，再利用含30度的直角三角形三边的关系求AH、OH，从而确定A点坐标．
解：当x=0时，y=﹣=5，则N（0，5），
当y=0时，﹣=0，解得x=5，则M（5，0），
在Rt△OMN中，∵tan∠NMO==，
∴∠NMO=60°，
在Rt△ABO中，∵∠B=60°，AB=2，
∴∠OAB=30°，
∴OB=1，OA=，
∵AB与直线MN平行，
∴直线AB与x轴的夹角为60°，
如图1，直线AB交x轴于点C，作AH⊥x轴于H，则∠OCB=60°，
∵∠OCB=∠COA+∠A，
∴∠COA=60°﹣30°=30°，
在Rt△OAH中，AH=OA=，OH=AH=，
∴A点坐标为（，﹣）；
如图2，直线AB交x轴于点C，作AH⊥x轴于H，则∠OCB=60°，
∵∠OCB=∠COA+∠A，
∴∠COA=60°﹣30°=30°，
在Rt△OAH中，AH=OA=，OH=AH=，
∴A点坐标为（﹣，）；
综上所述，A点坐标为（﹣，）或（，﹣）．
故答案为（﹣，）或（，﹣）．
本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．解决本题的关键是正确画出旋转后的图形．
13、（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式﹣1≤，得：x≤，
解不等式x﹣5≤（3x﹣2），得：x≥﹣，
则不等式组的解集为﹣≤x≤，
（2）解：原式=
=
当m=5时，原式=
14、由旋转可得，△ABC≌△ADE，进而得出∠ABC＝∠ADE＝30°，AD＝AB，进而得到∠ADB＝40°＝∠ABD，∠BAD＝°，再根据∠BAC＝∠DAE，即可得到∠EAC＝∠DAB＝°．
解：由旋转可得，△ABC≌△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE＝30°，AD＝AB，
∵∠BDE＝10°，
∴∠ADB＝40°＝∠ABD，
∴∠BAD＝°，
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠EAC＝∠DAB＝°．
本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．
15、（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；
（2）设x2﹣2x＝y，再根据完全平方公式把原式进行分解即可．
解：（1）∵（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，
∴该同学因式分解的结果不彻底．
（2）设x2﹣2x＝y
原式＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4．
故答案为：不彻底．
本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用．
16、分式方程的应用．菁优网版权所有
设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．
解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2×=，
解得x=30
经检验，x=30是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．
19、（1）证明：连接CD交AE于F，
∵四边形PCOD是平行四边形，
∴CF=DF，OF=PF，
∵PE=AO，
∴AF=EF，又CF=DF，
∴四边形ADEC为平行四边形；
（2）解：当点P运动的时间为秒时，OP=，OC=3，
则OE=，
由勾股定理得，AC==3，
CE==，
∵四边形ADEC为平行四边形，
∴周长为（3+）×2=6+3．
20、解：⑴设每辆中巴车有座位x个，每辆大客车有座位（x＋15）个，
依题意有
解之得：x1＝45，x2＝－90（不合题意，舍去）
答：每辆中巴车有座位45个，每辆大客车有座位60个。
⑵①若单独租用中巴车，租车费用为×＝2（元）
②若单独租用大客车，租车费用为（6－1）×＝（元）
③设租用中巴车y辆，大客车（y＋1）辆，则有(1)45y＋60（y＋1）≥，
y+（y+1）＜,
解（1）得y≥2，解（2）得y＜，∴y=2，当y＝2时，y＋1＝3，运送人数为45×2＋60×3＝合要求这时租车费用为×2＋×3＝（元） 故租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费少元，比单独租用大客车的租车费少元.
21、
答：
（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6，
∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，∴EF==13，
∴OC=EF=6.5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
22、（1）如图①中，作CH⊥AD于H．利用面积法求出CH，利用勾股定理求出DH，再求出PD，接下来分三种情形解决问题即可；
（2）结论：PA﹣PB＝PC．如图②中，作EC⊥PC交AP于E．只要证明△ACE≌△BCP即可解决问题；
（3）结论：PA﹣PB＝PC．如图③中，在AP上取一点E，使得∠ECP＝∠ACB＝°．只要证明△ACE≌△BCP即可解决问题；
解：（1）如图①中，作CH⊥AD于H．
在Rt△ACD中，AD＝＝10，
∵×AC×DC＝×AD×CH，
∴CH＝＝，
∴DH＝＝，
①当CP＝CD，∵CH⊥PD，
∴PH＝DH＝，
∴PD＝，
∴PA＝AD﹣PD＝10﹣＝．
②当CD＝DP时，DP＝6．AP＝10﹣6＝4，
③当CP＝PD时，易证AP＝PD＝5，
综上所述，满足条件的AP的值为2.8或4或5．
（2）结论：PA﹣PB＝PC．
理由：如图②中，作EC⊥PC交AP于E．
∵∠PCE＝90°，∠CPE＝45°，
∴∠CEP＝∠CPE＝45°，
∴CE＝CP，PE＝PC，
∵∠ACB＝∠ECP＝90°，
∴∠ACE＝∠BCP，
∵CA＝CB，
∴△ACE≌△BCP，
∴AE＝PB，
∴PA﹣PB＝PA﹣EA＝PE＝PC，
∴PA﹣PB＝PC．
（3）结论：PA﹣PB＝PC．
理由：如图③中，在AP上取一点E，使得∠ECP＝∠ACB＝°．
∵∠CEP＝°﹣°﹣30°＝30°，
∴∠CEP＝∠CPE，
∴CE＝CP．作CH⊥PE于H，则PE＝PC，
∵∠ACB＝∠ECP，
∴∠ACE＝∠BCP，
∵CA＝CB，
∴△ACE≌△BCP，
∴AE＝PB，
∴PA﹣PB＝PA﹣EA＝PE＝PC．
本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23、解：（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE．
（2）（1）中的结论仍然成立．
如图2，连结CF，延长EF交CB于点G．
∵
∴DE∥BC．
∴∠EDF=∠GBF．
又∵，DF=BF，
∴△EDF≌△GBF．
∴EF=GF，BG＝DE＝AE．
∵AC=BC，
∴CE=CG．
∴∠EFC=90°，CF=EF．
∴△CEF为等腰直角三角形．
∴∠CEF=45°．
∴CE=FE
（3）（1）中的结论仍然成立．
如图3，取AD的中点M,连结EM，MF,取AB的中点N,连结FN，CN，CF．
∵DF=BF，
∴
∵AE=DE，∠AED=90°,
∴AM=EM，∠AME=90°.
∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴，∠ANC=90°.
∴，FM=AN=CN.
∴四边形MFNA为平行四边形.
∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA.
∴∠EMF=∠FNC.
∴△EMF≌△FNC.
∴FE=CF，∠EFM=∠FCN.
由，∠ANC=90°，可得∠CPF=90°.
∴∠FCN＋∠PFC=90°.
∴∠EFM＋∠PFC=90°.
∴∠EFC=90°.
∴△CEF为等腰直角三角形．
∴∠CEF=45°.
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