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反比例函数常考题型
结合近几年的考情分析，反比例函数往往出现在填空题和解答题中，其出题类型一般与一次函数、三角函数、相似、全等、圆等相结合，成为学生的“一大障碍”，但是其单独出题时，相对简单。
判断函数图像
①看系数：一次函数只有一个未知数a；
注意：若一次函数的一次项系数与反比例函数的反比例系数正负相同，直线与双曲的两支都有交点。
②找矛盾：通常需要运用排除法，排除错误选项得到正确答案。反比例函数只有一个未知数，因此常从反比例函数的图象入手进行判断。如果a＞0，反比例函数图像在第一、三象限，如果a0，反比例函数图象在第二、四象限。
注意：当反比例函数与其他函数相结合出题时，需要再判断其他函数图象经过的象限就可确定其函数图像。
求解析式一般需要求出函数图象上的点的坐标，函数解析式上有几个未知数，就要找几个点。
函数图像绘制步骤：列表---描点---连线
（1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值。
（2）由于函数图象的特征还不清楚，尽量多取一些数值，多描一些点，从而便于连线，使画出的图象更精确。
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。
因为解析式中，x不能为0，所以y也不能为0，反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴。
涉及交点情况
■找交点及交点个数：已知交点的某一横坐标，代入即可求出其纵坐标，反之亦然；当要求交点坐标时，将反比例函数与一次函数联立方程组，进行求解；
■求解交点个数：将一次函数和反比例函数联立方程组的解的个数就是交点个数。
■求解析式：求解析式一般需要函数图像上的点的坐标，函数图像上有几个未知数，一般需要找几个点。反比例函数的综合应用中，通常寻找交点的坐标，从而得出解析式并分别求得解析式中的常数值。
涉及面积的运用
坐标系中的图形面积问题最基本的图形为三角形，解答核心是要把点坐标转化为线段长度。
▼若三角形有一边在坐标轴上，通常以这条边作为三角形的底边。
▼三边都不在坐标轴上，需要对图形进行割补。
▼在前文性质1和2中，我们提到有关反比例函数面积的性质，此外，我们需要了解的是有关反比例函数y=k/x（k为常数且k≠0）中
k
的几何意义：过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积为
k
。
▼如果题目中给出线段比例和四边形的面积求k问题，利用同底等高三角形面积与高之间的关系，以及面积与k之间的关系，求出k。
注意：反比例函数图象是一种特殊的图形，它的两个分支既关于原点对称，又关于直线Y=X、Y=-X对称，因此我们做题时要充分利用反比例函数的对称性来解题。
反比例函数的存在感极强，数学考试中基本年年会遇到它，熟记其性质并灵活运用是解题的关键。我们要对此引起重视。
视频教学：
《反比例函数的应用》知识点精讲
练习：
1．现有一水塔，水塔内装有20m3水，如果每小时从排水管中放水xm3，那么要经过yh才能把水放完，则y与x之间的函数关系图像应是图36－K－1中的(
)
图36－K－1
2．[·保定模拟]在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变，ρ与V在一定范围内满足ρ＝mV，它的图像如图36－K－2所示，则该气体的质量m为(
)
A．1.4kgB．5kgC．7kgD．6.4kg
图36－K－2图36－K－3
3．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图36－K－3所示．设小矩形的长、宽分别为x，y，剪去部分的面积为20.若2≤x≤10，则y与x之间的函数图像是(
)
图36－K－4
4．一块蓄电池的电压为定值，把此蓄电池作为电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图36－K－5所示．如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应(
)
A．不小于4.8ΩB．不大于4.8ΩC．不小于14ΩD．不大于14Ω
图36－K－5图36－K－6
5．[·庆元县期末]为了建设生态丽水，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，图36－K－6描述的是月利润y(万元)关于月份x之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图像的一部分，治污改造完成后是一次函数图像的一部分，则下列说法不正确的是(
)
A．5月份该厂的月利润最低
B．治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造前后，共有6个月的月利润不超过万元
D．治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到万元
课件：
教案：
教学目标：
1．掌握反比例函数的概念，会识别反比例函数，能判断两个变量之间是否成反比例关系。
2．用数形结合的思想，研究
k
的大小与反比例函数的图像之间的关系及其应用。
3．培养学生观察、分析、概括的能力及综合运用能力。
教学重点和难点：
反比例函数图像与有关概念性质之间的联系，研究反比例函数图像与矩形面积的关系，及反比例函数图像与直角三角形面积的关系，及其应用问题。
教学过程：
复习正比例及反比例函数有关概念，学生回答后小结，判断一个函数是否是反比例函数，看是否有关系式
练习：
判断下列各题的两个变量，哪些变量成反比例。
1.正方形的周长C与边长a之间的关系。
2.正方形的面积S与边长a之间的关系。
3.长方形的面积S不变,长a与宽b之间的关系。
4.长方形周长为20，长方形的长x和宽y之间的关系。
5.三角形面积为10，三角形一边长a和这边上高h之间的关系。
小结判断反比例函数的依据
1.反比例函数与矩形的面积
例：某函数图像在第一象限内，从图像上任一点分别作x轴和y轴的垂线，这两条垂线和两坐标轴所围成的长方形面积恒等于12，问这是一个什么函数？写出y关于x的函数关系式，画出大致图像。矩形面积与K有何关系
解：,根据提意，应有，故图像在第一象限内，图像只要求画出大致形状。（双曲线在第一象限内的一支）
本例中函数图像若在其他象限应如何解决，建议学生课后思考。
反比例函数的本质特征是两个变量y与x的乘积是一个常数k。
由此不难得出反比例函数的一个重要性质：
若P点是反比例函数图像上的任意一点，
且PM垂直于x轴，垂足为M，PN垂直于y轴，
垂足为N，则矩形面积
练习1.如图所示，P是反比例函数的图像上的一点，由P分别向x轴、y轴引垂线，得
阴影部分（矩形）的面积为3，则这个反比例函数的解析式是_____________。
略解：由题意，得
又双曲线两支分布在第二、四象限，
所以，故
2.反比例函数图像与直角三角形面积
由反比例函数图像与矩形面积的关系，还可引出反比例函数图像与直角三角形面积的关系。
如图所示，反比例函数在第一象限内的图像，P为该图像上任意一点练习，PQ垂直于x轴，垂足为Q。设△PQO的面积为S，则S的值与k之间的关系是（）
A.B.
C.D.
略解：过P点作PA垂直于y轴，易得故选C.
练习3.如图所示，A、B是函数的图
像上关于原点O中心对称的任意点，AC平行
于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为_____________。
思考：如图所示，正比例函数与反比例函数的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴于D。求证：当k取不同正数时，四边形ABCD的面积是常数。
简证：由题意易得，四边形ABCD为平行四边形，而，
所以，不论k取何正数，总有四边形ABCD面积。
归纳总结，布置作业
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